算法学习-差分数组

Sat, 23 Dec 2023 23:05:16 +0800

差分数组

参考教程：https://wansuanfa.com/index.php/589
leetcode题目：1109. 航班预订统计

问题描述

给定一个数组，需要频繁地对某个区间内的元素做加减操作，并获取最后的操作结果。常规做法是每次都遍历整个区间然后修改区间内的元素，但是元素的访问需要时间、频繁访问元素会减慢程序的运行时间。因此，可以使用差分数组来进行优化。

一维差分数组定义

一维差分数组 $d[n]$ 定义为原始数组 $nums$ 相邻元素之间的差，即 $d[i]=nums[i]-nums[i-1]$ ，其中 $d[0]=nums[0]$ 。这样原数组就是差分数组的前缀和

nums[i] = \sum_{k=0}^i d[k].

由此，我们可以改进原来的区间操作，如对区间 $[a,b]$ 内每个元素加3，那么只需要在区间的两端进行操作即可，即

d[a] += 3, d[b+1] -= 3

证明

假设 $nums1$ 是修改后的数组， $d1$ 是修改后的差分数组，其中 $d1[a]=d[a]+3, d1[b+1]=d[b+1]-3$ .

hugo里面换行公式需要\\\\四个反斜杠

对于 $0\leq i \lt a$ , $nums1[i] = \sum_{k=0}^i d1[k] = \sum_{k=0}^i d[k] = nums[i]$ .
对于 $a\leq i \leq b$ , $\begin{aligned} nums1[i] & = \sum_{k=0}^i d1[k] \\\\ & = \sum_{k=0}^{a-1}d[k] + \sum_{k=a+1}^{b}d[k] + d[a] + 3 \\\\ & = \sum_{k=0}^i d[k] + 3 \\\\ & = nums[i]+3 \end{aligned}$
对于 $i \gt b$ , $\begin{align} nums1[i] &= \sum_{k=0}^i d1[k]\\\\ &= \sum_{k=0}^{a-1}d[k] + \sum_{k=a+1}^{b}d[k] + \sum_{k=b+1}^{i}d[k] + d[a] + 3 + d[b] - 3\\\\ &= \sum_{k=0}^i d[k] + 3 - 3\\\\ &= nums[i]. \end{align}$ 由此，可以证明只修改差分数组的两端即可以修改原数组的整个区间。

代码

class Solution {
public:
 vector<int> diff;
 vector<int> nums;

 void diffNums() {
 diff[0] = nums[0];
 for(int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
 diff[i] = nums[i] - nums[i-1];
 }
 }

 void increment(int a, int b, int val) {
 diff[a] += val;
 if (b + 1 < diff.size())
 diff[b + 1] -= val;
 }

 void result() {
 nums[0] = diff[0];
 for (int i = 1; i < diff.size(); i++)
 nums[i] = diff[i] + nums[i - 1];
 }

 vector<int> corpFlightBookings(vector<vector<int>>& bookings, int n) {
 nums.resize(n, 0);
 diff.resize(n, 0);
 diffNums();
 for (int i = 0; i < bookings.size(); ++i) {
 increment(bookings[i][0]-1, bookings[i][1]-1, bookings[i][2]);
 }
 result();
 return nums;
 }
};

拓展 - 二维差分数组

二维差分数组可以在一维差分数组的基础上进行拓展，视为一个平面，定义如下

差分数组 on Lishengxie

算法学习-差分数组

差分数组

问题描述

一维差分数组定义

证明

代码

拓展 - 二维差分数组